Resolva as integrais

Passo 1

Estamos com a integral de uma função racional em que o numerador é um polinômio e o denominador é uma potência. O conteúdo aqui é técnicas de integração por substituição, e vamos usar isso para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos definir a substituição
nu = 25 - x^2
Daí temos
,dnu = -2x,dx,
o que implica
x,dx = -12,dnu
e também
x^2 = 25 - nu

Passo 3

Substituindo na integral original
integral x^3,dx(25 - x^2)^2 = integral x^2 cdot x,dxnu^2 = integral (25 - nu)l(-tfrac12,dnur)nu^2 = -tfrac12 integral gl(25nu^2 - nunu^2gr) dnu = -tfrac12 integral l(25,nu^-2 - nu^-1r) dnu

Passo 4

Agora é só integrar cada potência de nu:
-tfrac12 integral 25,nu^-2 ,dnu = -tfrac12 cdot 25 cdot l(-nu^-1r) = 252nu,
-tfrac12 integral (-nu^-1),dnu = -tfrac12 l(-ln|nu|r) = 12ln|nu|
Somando as duas partes, a primitiva em nu é
252nu + 12ln|nu| + C

Passo 5

Voltando à variável x pelo fato de nu = 25 - x^2, obtemos a resposta final em termos de x.

Resposta

12lnl|25 - x^2r| + 252,(25 - x^2) + C

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