Seja f(x, y)=integral0^x^2+y^2 e^-t^2 d t. Calcule partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y).
Sugestão: Faça F(t)=e^-t^2 e u(x, y)=x^2+y^2 e aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular .

Passo 1

A função é dada por f(x,y)=integral0^x^2+y^2e^-t^2,dt. O objetivo é encontrar as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a Regra da Cadeia.

Passo 2

Definimos as seguintes funções auxiliares para aplicar o teorema de forma clara
F(t)=e^-t^2, u(x,y)=x^2+y^2

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e pela Regra da Cadeia temos
partialpartial xl(integral0^u(x,y)F(t),dtr)=Fl(u(x,y)r)cdotpartial upartial x(x,y)

Passo 4

Calculando partial upartial x=2x segue que
partial fpartial x(x,y)=2x,e^-l(x^2+y^2r)^2

Passo 5

De modo análogo, para a derivada em relação a y usamos partial upartial y=2y e obtemos
partial fpartial y(x,y)=2y,e^-l(x^2+y^2r)^2

Resposta

partial fpartial x(x,y)=2x,e^-l(x^2+y^2r)^2, partial fpartial y(x,y)=2y,e^-l(x^2+y^2r)^2.

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