Resolva as integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral dx(4 + x^2)^3/2. O conteúdo envolvido é técnicas de integração que usam substituição trigonométrica para lidar com expressões do tipo a^2 + x^2. Vamos usar x = 2tantheta.

Passo 2

Fazendo a substituição trigonométrica: definimos x = 2tantheta, logo dx = 2sec^2theta,dtheta. Além disso,
4 + x^2 = 4 + 4tan^2theta = 4sec^2thetaLongrightarrow(4 + x^2)^3/2 = (4sec^2theta)^3/2 = 8sec^3theta

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral dx(4 + x^2)^3/2 = integral 2sec^2theta,dtheta8sec^3theta = 14integral sec^2thetasec^3theta,dtheta = 14integral costheta,dtheta

Passo 4

Agora integramos costheta:
14integral costheta,dtheta = 14sintheta + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x. Como x = 2tantheta, temos triângulo com catetos x e 2, logo
sintheta = xraizx^2 + 4

Passo 6

Substituindo de volta:
14sintheta + C = 14cdotxraizx^2 + 4 + C = x4raizx^2 + 4 + C

Resposta

integral dx(4 + x^2)^3/2 = x4raizx^2 + 4 + C

Exercícios relacionados