Calcule partial zpartial x(x, y) e partial zpartial y(x, y) para
z dada implicitamente por x^2+y^2+z^2=1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita x^2+y^2+z^2=1 definindo z em função de x e y. O conteúdo é diferenciação implícita e vamos precisar usar a condição F(x,y,z)=0 com F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1 para encontrar partial z/partial x e partial z/partial y.

Passo 2

Definimos a função F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1. Como F(x,y,z)=0 caracteriza a superfície, temos as derivadas parciais Fx=2x, Fy=2y e Fz=2z.

Passo 3

Aplicamos diferenciação implícita em relação a x. Como F(x,y,z(x,y))equiv 0, vale Fx+Fz,zx=0. Substituindo,
2x + 2z,partial zpartial x=0
Resolvendo para partial z/partial x,
partial zpartial x=-2x2z=-xz, contanto que zneq 0.

Passo 4

De modo análogo, diferenciando F(x,y,z(x,y))=0 em relação a y obtemos Fy+Fz,zy=0, ou seja,
2y + 2z,partial zpartial y=0
Daí segue
partial zpartial y=-2y2z=-yz, também para zneq 0.

Resposta

partial zpartial x=-xz, partial zpartial y=-yz

Exercícios relacionados