Calcule partial zpartial u e partial zpartial v :
z=e^r cos theta, r=u v, theta=raizu^2+v^2

Passo 1

O enunciado pede calcular as derivadas parciais de z em relação a u e v, onde z=e^r cosθ, r=uv e θ=√(u²+v²). O conteúdo envolvido é derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia, pois z depende indiretamente de u e v através de r e θ.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação a r e θ e as derivadas de r e θ em relação a u:
partial zpartial r=e^rcostheta,
partial zpartial theta=-e^rsintheta,
partial rpartial u=v,
partial thetapartial u=uraizu^2+v^2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter ∂z/∂u:
partial zpartial u=partial zpartial rpartial rpartial u+partial zpartial thetapartial thetapartial u
Substituindo e simplificando:
partial zpartial u=e^rcostheta,v+(-e^rsintheta),uraizu^2+v^2=e^rl(vcostheta-uraizu^2+v^2sinthetar)

Passo 4

Em seguida, calculamos as derivadas de r e θ em relação a v e aplicamos a regra da cadeia para ∂z/∂v:
partial rpartial v=u,
partial thetapartial v=vraizu^2+v^2,
partial zpartial v=partial zpartial rpartial rpartial v+partial zpartial thetapartial thetapartial v
Substituindo e simplificando:
partial zpartial v=e^rcostheta,u+(-e^rsintheta),vraizu^2+v^2=e^rl(ucostheta-vraizu^2+v^2sinthetar)

Resposta

partial zpartial u=e^rl(vcostheta-uraizu^2+v^2sinthetar), partial zpartial v=e^rl(ucostheta-vraizu^2+v^2sinthetar).

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