Calcule
e
:
Passo 1
O enunciado pede calcular as derivadas parciais de z em relação a u e v, onde z=e^r cosθ, r=uv e θ=√(u²+v²). O conteúdo envolvido é derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia, pois z depende indiretamente de u e v através de r e θ.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação a r e θ e as derivadas de r e θ em relação a u:
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter ∂z/∂u:
Substituindo e simplificando:
Passo 4
Em seguida, calculamos as derivadas de r e θ em relação a v e aplicamos a regra da cadeia para ∂z/∂v:
Substituindo e simplificando: