K) Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k k^32^k+2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumk=1^infty (-1)^kk^32^k+2
(a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
O conteúdo principal é análise de convergência de séries: vamos usar o teste da razão para a série de termos absolutos e, em seguida, usar o fato de que convergência absoluta implica convergência.

Passo 2

Para estudar a convergência absoluta, consideramos
|ak| = |(-1)^kk^32^k+2| = k^32^k+2 = 14,k^32^k
Aplicamos o teste da razão a bk = tfrack^32^k:
L = limktoinfty|ak+1||ak| = limktoinftytfrac14,tfrac(k+1)^32^k+1 tfrac14,tfrack^32^k = limktoinfty(k+1)^3k^3,12 = 12 < 1
Como L<1, a série sum|ak| converge, logo a série original converge absolutamente.

Passo 3

Convergência absoluta é um caso mais forte que convergência condicional. Portanto, tendo mostrado que a série converge absolutamente, concluímos que ela converge (mas não apenas de modo condicional).

Resposta

a) Converge absolutamente.
b) Não converge apenas condicionalmente (pois converge absolutamente).

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