Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x, y). Aem disso, calcule partial zpartial x e partial zpartial y em termos de x, y, z:
& (a) x^2+2 y^2+2 z^2=-4 x y z & (b) x^2 y^2 z^2=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as equações
(a) x^2+2y^2+2z^2=-4xyz, (b) x^2y^2z^2=1
definem localmente pelo menos uma função diferenciável z=z(x,y). Para isso usamos o Teorema da Função Implícita: se F(x,y,z)=0 é uma equação implícita e partial F/partial zneq0 num ponto (x0,y0,z0) com F(x0,y0,z0)=0, então existe z(x,y) diferenciável perto de (x0,y0). Além disso, as derivadas parciais vêm de
zx=-FxFz, zy=-FyFz

Passo 2

Para o caso (a), defina
F(x,y,z)=x^2+2y^2+2z^2+4xyz
Calculamos as derivadas parciais:
Fx=2x+4yz, Fy=4y+4xz, Fz=4z+4xy
Para garantir partial F/partial zneq0 basta escolher um ponto real (x0,y0,z0) que satisfaça F=0 e 4z0+4x0y0neq0. Por exemplo, em (x0,y0,z0)=(-2,1,1) temos
F(-2,1,1)=(-2)^2+2cdot1^2+2cdot1^2+4cdot(-2)cdot1cdot1=4+2+2-8=0,
e
Fz(-2,1,1)=4cdot1+4cdot(-2)cdot1=-4neq0
Logo, por IFT existe z=z(x,y) diferenciável perto de (-2,1).

Passo 3

Ainda para (a), aplicando
zx=-FxFz, zy=-FyFz,
obtemos
zx =-2x+4yz4z+4xy =-x+2yz2,(z+xy),
zy =-4y+4xz4z+4xy =-y+xz,z+xy,

Passo 4

Para o caso (b), defina
G(x,y,z)=x^2y^2z^2-1
Calculamos
Gx=2x,y^2z^2, Gy=2x^2y,z^2, Gz=2x^2y^2z
Em particular, no ponto (x0,y0,z0)=(1,1,1) temos
G(1,1,1)=1-1=0, Gz(1,1,1)=2neq0,
portanto há z=z(x,y) diferenciável perto de (1,1). As derivadas são
zx=-GxGz =-2x,y^2z^22x^2y^2z =-zx,
zy=-GyGz =-2x^2y,z^22x^2y^2z =-zy

Resposta

(a) Há solução diferenciável z(x,y) com
zx=-x+2yz2,(z+xy), zy=-y+xz,z+xy,
(b) Há solução diferenciável z(x,y) com
zx=-zx, zy=-zy

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