Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
. Aem disso, calcule
em termos de
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as equações
definem localmente pelo menos uma função diferenciável
. Para isso usamos o Teorema da Função Implícita: se
é uma equação implícita e
num ponto
com
, então existe
diferenciável perto de
. Além disso, as derivadas parciais vêm de
Passo 2
Para o caso (a), defina
Calculamos as derivadas parciais:
Para garantir
basta escolher um ponto real
que satisfaça
e
. Por exemplo, em
temos
e
Logo, por IFT existe
diferenciável perto de
.
Passo 3
Ainda para (a), aplicando
obtemos
Passo 4
Para o caso (b), defina
Calculamos
Em particular, no ponto
temos
portanto há
diferenciável perto de
. As derivadas são
Resposta
(a) Há solução diferenciável
com
(b) Há solução diferenciável
com