Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície de equação dada no ponto dado:
f(x, y)=raizx^2+y^2 em(-3,2, f(-3,2)).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície
z = f(x,y) = raizx^2 + y^2
no ponto (-3,2,f(-3,2)). Vamos usar derivadas parciais para obter o plano tangente e depois o vetor normal para escrever a reta.

Passo 2

Calculamos a coordenada z do ponto:
f(-3,2) = raiz(-3)^2 + 2^2 = raiz9 + 4 = raiz13
Logo o ponto de tangência é l(-3,2,raiz13r).

Passo 3

Encontramos as derivadas parciais de f:
fx(x,y) = xraizx^2 + y^2, fy(x,y) = yraizx^2 + y^2
No ponto (-3,2) isso vale
fx(-3,2) = -3raiz13, fy(-3,2) = 2raiz13

Passo 4

A equação do plano tangente a um gráfico z = f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo (x0,y0,z0)=(-3,2,raiz13) e os valores de fx,fy:
z - raiz13 = -3raiz13,(x + 3) + 2raiz13,(y - 2)

Passo 5

Uma normal ao plano tangente é dado pelo gradiente de F(x,y,z)=raizx^2+y^2-z, ou seja
n = l(fx(-3,2),,fy(-3,2),,-1r) = l(-tfrac3raiz13,,tfrac2raiz13,,-1r)
A reta normal em forma paramétrica parte de (-3,2,raiz13) e usa vec n como direção:
x(t) = -3 - dfrac3raiz13,t,[6pt] y(t) = 2 + dfrac2raiz13,t,[6pt] z(t) = raiz13 - t
]

Resposta

Plano tangente:
boxed,z - raiz13 = -3raiz13,(x + 3) + 2raiz13,(y - 2),
Reta normal:
boxed l(x,y,zr) = l(-3,2,raiz13r) + tl(-tfrac3raiz13,,tfrac2raiz13,,-1r)

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