Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície de equação dada no ponto dado:
f(x, y)=x^2+2 y^2 em (1,1, f(1,1));

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
z = f(x,y) = x^2 + 2y^2
e pede a equação do plano tangente e da reta normal no ponto (1,1,f(1,1)).
Para resolver, vamos usar derivadas parciais para obter o gradiente de f e aplicar a fórmula de linearização de superfícies.

Passo 2

Calcular o valor de f em (1,1):
f(1,1) = 1^2 + 2 cdot 1^2 = 1 + 2 = 3
Logo o ponto é (1,1,3).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f:
fx(x,y) = 2x, fy(x,y) = 4y
Em (1,1) temos
fx(1,1) = 2, fy(1,1) = 4

Passo 4

A equação do plano tangente à superfície em (1,1,3) é dada por
z - z0 = fx(1,1),(x - x0) + fy(1,1),(y - y0)
Substituindo (x0,y0,z0) = (1,1,3) e os valores das derivadas, obtemos
z - 3 = 2(x - 1) + 4(y - 1)
que simplifica para
z = 2x + 4y - 3

Passo 5

Para a reta normal, note que a normal ao plano tangente é o vetor gradiente de
ou seja
A reta normal em forma paramétrica é
isto é

Resposta

Plano tangente:
z = 2x + 4y - 3
Reta normal (forma paramétrica):
x = 1 + 2t, y = 1 + 4t, z = 3 - t

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