Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície de equação dada no ponto dado:
em
;
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede a equação do plano tangente e da reta normal no ponto
.
Para resolver, vamos usar derivadas parciais para obter o gradiente de e aplicar a fórmula de linearização de superfícies.
Para resolver, vamos usar derivadas parciais para obter o gradiente de
Passo 2
Calcular o valor de
em
:
Logo o ponto é
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
Em
temos
Passo 4
A equação do plano tangente à superfície em
é dada por
Substituindo
e os valores das derivadas, obtemos
que simplifica para
Passo 5
Para a reta normal, note que a normal ao plano tangente é o vetor gradiente de
ou seja
A reta normal em forma paramétrica é
isto é
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (forma paramétrica):