Calcule partial zpartial x e partial zpartial y, onde z=f(x, y) é definida pela equação:
x y(1+x+y)-z^2=0

Passo 1

O enunciado define z=f(x,y) implicitamente pela equação
x,y,(1+x+y)-z^2=0
O conteúdo é diferenciação implícita: vamos derivar essa equação em relação a x e em relação a y, tratando z como função de x e y, e usar a regra da cadeia para z^2.

Passo 2

Para achar partial z/partial x, derivamos
x,y,(1+x+y)-z^2=0
em relação a x. Note que y é constante e z=z(x,y). Primeiro, simplificamos
x,y,(1+x+y)=x y + x^2 y + x y^2
Derivando termo a termo em x:
partialpartial xl(x y + x^2 y + x y^2r) = y + 2x,y + y^2
Para o termo -z^2, pela regra da cadeia,
partialpartial x(-z^2) = -2,z,partial zpartial x
Logo a derivada implícita em relação a x
y + 2x,y + y^2 - 2,z,partial zpartial x = 0

Passo 3

Isolando partial z/partial x na equação
y + 2x,y + y^2 = 2,z,partial zpartial x,
obtemos
partial zpartial x = y + 2x,y + y^22,z = y,(1 + 2x + y)2,z

Passo 4

Para achar partial z/partial y, derivamos
x,y,(1+x+y)-z^2=0
em relação a y. Agora x é constante e z=z(x,y). Reescrevendo
x,y,(1+x+y)=x y + x^2 y + x y^2
e derivando em y:
partialpartial yl(x y + x^2 y + x y^2r) = x + x^2 + 2x,y
E, pela regra da cadeia,
partialpartial y(-z^2) = -2,z,partial zpartial y
A equação implícita em y fica
x + x^2 + 2x,y - 2,z,partial zpartial y = 0

Passo 5

Isolando partial z/partial y em
x + x^2 + 2x,y = 2,z,partial zpartial y,
resulta
partial zpartial y = x + x^2 + 2x,y2,z = x,(1 + x + 2y)2,z

Resposta

partial zpartial x = y,(1 + 2x + y)2,z, partial zpartial y = x,(1 + x + 2y)2,z

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