Calcule partial zpartial x e partial zpartial y, onde z=f(x, y) é definida pela equação:
x^2+y^2+z^2=1

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície definida implicitamente por
x^2 + y^2 + z^2 = 1,
onde z é vista como função de (x,y), isto é, z = f(x,y). Para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y vamos usar diferenciação implícita e a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando a equação
x^2 + y^2 + z^2 = 1
em relação a x, considerando z = f(x,y), obtemos
partialpartial x(x^2) + partialpartial x(y^2) + partialpartial x(z^2) = partialpartial x(1)
Isso dá
2x + 0 + 2z,partial zpartial x = 0
Resolvendo para partial zpartial x, temos
2z,partial zpartial x = -2x Longrightarrow partial zpartial x = -xz

Passo 3

De modo análogo, diferenciando
x^2 + y^2 + z^2 = 1
em relação a y e lembrando que x é tratado como constante, obtemos
0 + 2y + 2z,partial zpartial y = 0 Longrightarrow 2z,partial zpartial y = -2y Longrightarrow partial zpartial y = -yz

Resposta

partial zpartial x = -xz, partial zpartial y = -yz

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