( ponto) Diga se verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das afirmações abaixo:
a) ()8 in N
b) () 0,2555 ldots notin Q
c) ()-1 in]-5,-1]
d) ()raiz100 notin I
e) ()2,5 subset[0,+infty[
f) ()0-5 notin N
Passo 1
O enunciado apresenta seis afirmações sobre pertinência de elementos e subconjuntos em várias coleções numéricas (N, Q, intervalos de R, conjunto dos irracionais I, etc.) e pede para dizer se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar as definições básicas:
– “xin A” significa que x é um elemento de A.
– “Bsubset A” significa que todo elemento de B está em A.
– N costuma ser o conjunto dos naturais (usualmente sem o zero), Q é o dos racionais, I o dos irracionais.
– Números decimais que repetem dígitos eventualmente são racionais.
– Notação de intervalo ]a,b] é aberto em a e fechado em b.
Passo 2
Analisando (a) :
Um elemento de é um conjunto cujo único elemento é , mas em si não é um número. Logo a afirmação é falsa.)
Passo 3
Analisando (b) 0,2555ldotsnotinQ:
O decimal 0,2555ldots tem uma parte periódica (os “5” repetidos). Todo decimal eventualmente periódico é racional. Em particular
0,2555ldots = 2390inQ
Portanto a afirmação “não está em Q” é falsa.
Passo 4
Analisando (c) -1in,]-5,-1]:
O intervalo ]-5,-1] inclui todos os x tais que -5<x<=-1. Como -1<=-1, tem-se -1in,]-5,-1]. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Analisando (d) raiz100notinI:
Temos raiz100=10, que é um número inteiro e, portanto, racional. Como I é o conjunto dos irracionais, 10notinI. A afirmação é verdadeira.
Passo 6
Analisando (e) 2,5subset[0,+infty[:
O intervalo [0,+infty[ contém todos os números reais >=0. Os elementos 2 e 5 são não negativos, então o conjunto 2,5 está todo dentro de [0,+infty[. A afirmação é verdadeira.
Passo 7
Analisando (f) tfrac0-5notinN:
Calculando tfrac0-5=0. Se adotamos N=1,2,3,dots (a convenção mais comum em nosso contexto), então 0notinN. Logo a afirmação é verdadeira.