calcule o que se pede.
O copépode é um crustáceo aquático com aproximadamente 1 mm de diâmetro. Sobre ele atua uma força de arrasto quando ele se move lentamente em água doce, com densidade e viscosidade conhecida, a uma determinada velocidade. Escreva os números adimensionais resultantes desse problema usando o Teorema Pi.

Passo 1

O enunciado trata de um crustáceo (diâmetro \approx1\text{ mm}) que sofre uma força de arrasto F ao se mover com velocidade U em água doce, de densidade \rho e viscosidade dinâmica \mu. Vamos usar o Teorema \Pi para encontrar os números adimensionais que relacionam essas cinco variáveis.

Passo 2

Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais:
F (força): \,[F]=M\,L\,T^{-2}
\rho (densidade): \,[\rho]=M\,L^{-3}
\mu (viscosidade dinâmica): \,[\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1}
U (velocidade): \,[U]=L\,T^{-1}
L (comprimento característico, aqui o diâmetro): \,[L]=L
Como temos n=5 variáveis e k=3 dimensões fundamentais M,L,T, o Teorema \Pi prevê p=n-k=2 grupos adimensionais.

Passo 3

Escolhemos como variáveis repetidas \rho, U e L.
  1. Para obter o primeiro grupo \pi_1, combinamos F com potências de \rho, U e L de modo a cancelar todas as dimensões. O resultado padrão é o coeficiente de arrasto:
\pi_{1}=\frac{F}{\rho\,U^{2}\,L^{2}}.
  1. Para o segundo grupo \pi_2, usamos \rho, U, L e \mu. A combinação que elimina as dimensões é o número de Reynolds:
\pi_{2}=\frac{\rho\,U\,L}{\mu}.

Passo 4

Interpretando fisicamente:
\pi_{1} é o coeficiente de arrasto (às vezes chamado C_{D}), que mede a força de arrasto normalizada pela inércia do fluido.
\pi_{2} é o número de Reynolds, que compara forças de inércia e viscosas no escoamento.

Resposta

\pi_{1}=\frac{F}{\rho\,U^{2}\,L^{2}} \quad\text{e}\quad \pi_{2}=\frac{\rho\,U\,L}{\mu}.

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