Calcule o que se pede:
a) Dado F(x, y, z)=x y+ln (y z), calcule a diferencial total no ponto F(4,1,5) quando a variação é x=0,02, y=0,04 e z=-0,03.

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y,z)=x,y+ln(yz)
e pede a diferencial total dF no ponto (4,1,5) para as variações De<a x=0,02, De<a y=0,04 e De<a z=-0,03. Vamos usar o conceito de diferencial total, que exige as derivadas parciais de F.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F:
– Em relação a x, tratando y,z como constantes,
Fx(x,y,z)=partialpartial xl(xy+ln(yz)r)=y
– Em relação a y, tratando x,z como constantes,
Fy(x,y,z)=partialpartial yl(xy+ln(yz)r)=x+1y
– Em relação a z, tratando x,y como constantes,
Fz(x,y,z)=partialpartial zl(xy+ln(yz)r)=1z

Passo 3

Avaliaremos essas derivadas no ponto (4,1,5):
Fx(4,1,5)=1, Fy(4,1,5)=4+11=5, Fz(4,1,5)=15=0,2

Passo 4

A fórmula da diferencial total é
dF = Fx,De<a x + Fy,De<a y + Fz,De<a z
Substituindo os valores encontrados, obtemos
dF = 1cdot0,02 + 5cdot0,04 + 0,2cdot(-0,03) =0,02+0,20-0,006 =0,214

Resposta

A diferencial total é dF=0,214.

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