Reparametrize as seguintes curvas pelo comprimento de arco medido a partir de t=0 :
W(t)=e^2 t cos (2 t) i+2 j+e^2 t sen(2 t) k

Passo 1

Estamos com a curva
W(t)=l(e^2tcos(2t),;2,;e^2tsen(2t)r)
e queremos reparametrizá-la por comprimento de arco s medido a partir de t=0. Para isso vamos (i) calcular W'(t), (ii) achar a velocidade |W'(t)|, (iii) integrar para obter s(t), (iv) inverter s(t) para t(s) e (v) substituir de volta em W(t).

Passo 2

Derivando componente a componente,

Passo 3

A velocidade é
Mas
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Passo 4

O comprimento de arco desde 0 até t é
s(t)=integral0^t2raiz2,e^2u,du =2raiz2cdote^2u2|0^t =raiz2l(e^2t-1r)

Passo 5

Invertendo para achar t em função de s:
e^2t=1+sraiz2 Longrightarrow t(s)=12ln!l(1+sraiz2r)

Passo 6

Substituindo t(s) em W(t), usando e^2t=1+tfracsraiz2 e 2t=lnl(1+tfracsraiz2r), obtemos
widetilde W(s) =l(l(1+tfracsraiz2r)cosl(ln(1+tfracsraiz2)r),; 2,; l(1+tfracsraiz2r)senl(ln(1+tfracsraiz2)r)r),
com s>=0.

Resposta

widetilde W(s) =l(l(1+tfracsraiz2r)cosl(ln(1+tfracsraiz2)r),; 2,; l(1+tfracsraiz2r)senl(ln(1+tfracsraiz2)r)r), s>=0

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