Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho, quando:
D=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 2,-1 <= y <= 1 ; rho(x, y)=x y^2.

Passo 1

O enunciado pede a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa a região
D = (x,y)inR^2:0<= x<=2,,-1<= y<=1
e tem densidade rho(x,y)=x,y^2.
Conteúdo da matéria: cálculo de integrais duplas para massa
m = integral duplaD rho(x,y),dA
e momentos
Mx = integral duplaD y,rho(x,y),dA, My = integral duplaD x,rho(x,y),dA
para obter o centro de massa
bar x = Mym, bar y = Mxm.

Passo 2

Calcular a massa
m = integralx=0^2integraly=-1^1 x,y^2 ,dy,dx
Primeiro a integral em y:
integral-1^1 y^2,dy = 23
Logo
m = integral0^2 xcdot23,dx = 23integral0^2 x,dx = 23cdotx^22|0^2 = 23cdot2 = 43

Passo 3

Calcular o momento Mx (em relação ao eixo x):
Mx = integral duplaD y,(x,y^2),dA = integral0^2integral-1^1 x,y^3,dy,dx
Mas integral-1^1 y^3,dy = 0 por simetria ímpar, então
Mx = 0

Passo 4

Calcular o momento My (em relação ao eixo y):
My = integral duplaD x,(x,y^2),dA = integral0^2integral-1^1 x^2,y^2,dy,dx
De novo integral-1^1 y^2,dy=tfrac23, então
My = integral0^2 x^2cdot23,dx = 23integral0^2 x^2,dx = 23cdotx^33|0^2 = 23cdot83 = 169

Passo 5

Determinar o centro de massa (bar x,bar y):
bar x = Mym = tfrac169tfrac43 = 169cdot34 = 43, bar y = Mxm = 0tfrac43 = 0

Resposta

A massa é m = tfrac43 e o centro de massa é l(bar x,bar yr)=l(tfrac43,0r).

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