Sejam P(6,2,3), Q(-5,-1,4) e R(0,3,8) pontos do R^3.
(a) Qual dos pontos está mais próximo do plano x y ?
(b) Qual dos pontos pertence ao plano y z ?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos dá três pontos no espaço tridimensional: P(6,2,3) , Q(-5,-1,4) e R(0,3,8) . Temos duas partes para resolver:
a) Descobrir qual desses pontos está mais próximo do plano xy .
b) Identificar qual desses pontos pertence ao plano yz .
Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica no espaço. Vamos lá!

Passo 2

Parte a: Qual dos pontos está mais próximo do plano xy ?
Primeiro, precisamos entender o que significa a distância de um ponto até o plano xy .
O plano xy é aquele onde a coordenada z é sempre zero. Então, a distância de qualquer ponto até esse plano é simplesmente o valor absoluto da sua coordenada z .
Vamos calcular a distância de cada ponto até o plano xy :
  • Para o ponto P(6,2,3) : a coordenada z é 3, então a distância é |3| = 3 .
  • Para o ponto Q(-5,-1,4) : a coordenada z é 4, então a distância é |4| = 4 .
  • Para o ponto R(0,3,8) : a coordenada z é 8, então a distância é |8| = 8 .

Passo 3

Comparando as distâncias:
  • P : 3 unidades
  • Q : 4 unidades
  • R : 8 unidades
O ponto que está mais próximo do plano xy é aquele com a menor distância, que é o ponto P(6,2,3) .

Passo 4

Parte b: Qual dos pontos pertence ao plano yz ?
Agora, vamos entender o que significa um ponto pertencer ao plano yz .
O plano yz é aquele onde a coordenada x é sempre zero. Ou seja, qualquer ponto que estiver nesse plano terá a forma (0, y, z) .
Vamos verificar as coordenadas de x de cada ponto:
  • P(6,2,3) : x = 6 (não é zero)
  • Q(-5,-1,4) : x = -5 (não é zero)
  • R(0,3,8) : x = 0 (é zero)

Passo 5

Portanto, apenas o ponto R(0,3,8) tem a coordenada x igual a zero, o que significa que ele pertence ao plano yz .

Resposta

a) O ponto P(6,2,3) está mais próximo do plano xy .
b) O ponto R(0,3,8) pertence ao plano yz .

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