Encontre um vetor em R^3 que tenha norma 3 e, além disso, tenha a mesma direção e sentido do vetor v=(23,-12,-2).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de vetores aqui. A gente precisa encontrar um vetor no espaço tridimensional, R^3, que tenha uma norma (ou comprimento) igual a 3 e que a direção e o sentido desse vetor sejam os mesmos do vetor dado v = (23, -12, -2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, norma de um vetor e a ideia de vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma do vetor v. A norma de um vetor v = (v1, v2, v3) é dada pela fórmula:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Substituindo os valores do nosso vetor:
|v| = raiz(23)^2 + (-12)^2 + (-2)^2 = raiz49 + 14 + 4
Vamos calcular cada termo:
49 approx 0,4444 14 = 0,25 4 = 4,0
Somando:
0,4444 + 0,25 + 4,0 = 4,6944
Então,
|v| approx raiz4,6944 approx 2,166

Passo 3

Agora que sabemos a norma do vetor v, queremos encontrar um vetor que tenha a mesma direção e sentido, mas com norma 3. Para isso, vamos primeiro encontrar o vetor unitário na direção de v. Um vetor unitário tem norma igual a 1 e é obtido dividindo cada componente do vetor original pela sua norma.
Então, o vetor unitário u é:
u = v|v| = ( 232,166, -122,166, -22,166 )
Calculando cada componente:
u approx ( 0,66672,166, -0,52,166, -22,166 ) approx (0,3077, -0,2308, -0,9231)

Passo 4

Agora que temos o vetor unitário u, queremos escalar esse vetor para que sua norma seja 3. Isso é feito multiplicando cada componente do vetor unitário pelo fator de escala desejado, que nesse caso é 3.
Então, o vetor buscado w é:
w = 3 cdot u = 3 cdot (0,3077, -0,2308, -0,9231) approx (0,9231, -0,6923, -2,7692)

Resposta

O vetor que satisfaz as condições é w approx (0,9231, -0,6923, -2,7692).

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