1. Determine um ponto no cixo das abcissas equidistante aos pontos A(-2,2) e B(4,4).

Passo 1

O enunciado pede um ponto P no eixo das abscissas (ou seja, da forma (x,0)) que esteja à mesma distância de A(-2,2) e de B(4,4). Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e igualar essas distâncias para achar x.

Passo 2

Seja P=(x,0). A distância de P a A é dada por
d(P,A)=\sqrt{(x - (-2))^2 + (0-2)^2} =\sqrt{(x+2)^2 + 2^2}.
A distância de P a B é
d(P,B)=\sqrt{(x-4)^2 + (0-4)^2} =\sqrt{(x-4)^2 + 4^2}.
Como queremos d(P,A)=d(P,B), podemos igualar e, em seguida, elevar ao quadrado para eliminar as raízes:
(x+2)^2 + 2^2 = (x-4)^2 + 4^2.

Passo 3

Expandindo e simplificando:
(x+2)^2 + 4 = (x-4)^2 + 16
x^2 +4x +4 +4 = x^2 -8x +16 +16
x^2 +4x +8 = x^2 -8x +32
4x +8 = -8x +32
12x = 24
x = 2.

Passo 4

Portanto, o ponto procurado no eixo das abscissas é (2,0), pois é o único que torna d(P,A)=d(P,B).

Resposta

(2,0)

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