A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em R^3 :
R=145[rrr -19 & 40 & -8 -8 & 5 & 44 40 & 20 & 5 ]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -34
(B) 35
© -12
(D) 45
(E) -35
(F) -45
(G) 34
(H) 12
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz de rotação em e precisa encontrar o cosseno do ângulo de rotação. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre matrizes de rotação e como elas se relacionam com os ângulos que representam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que toda matriz de rotação em 3 dimensões tem uma propriedade importante: a soma dos elementos da diagonal principal, chamada traço da matriz ( Tr(R) = 1 + 2costheta ), está relacionada ao ângulo de rotação ( ) pela fórmula:
Isso significa que, se calcularmos o traço da matriz , podemos encontrar o cosseno do ângulo de rotação.

Passo 3

Agora, vamos calcular o traço da matriz Tr(R) = -1945 + 545 + 545 = -19 + 5 + 545 = -945 = -0,2 . O traço é a soma dos elementos da diagonal principal:

Passo 4

Com o valor do traço, podemos usar a fórmula que relaciona o traço à -0,2 = 1 + 2costheta :
2costheta = -0,2 - 1 2costheta = -1,2 costheta = -1,22 costheta = -0,6
Vamos isolar :

Passo 5

Agora, convertemos -0,6 = -610 = -35 para fração:

Resposta

O cosseno do ângulo de rotação é . Portanto, a opção correta é a (E) .

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