Calcule o polinômio de Taylor de
de grau
no ponto
indicado:
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau
de
em
. O conteúdo envolvido é série de Taylor (Maclaurin) e vamos precisar da definição de polinômio de Taylor e de uma expansão em série de potências de
.
Passo 2
Começamos lembrando da definição do polinômio de Taylor de grau
em
:
Para isso, calculamos
e
. Observamos que
e derivando:
Passo 3
Para expandir
, usamos a série geométrica para
com
. Assim:
Passo 4
Agora integramos termo a termo de
até
para recuperar
. Como
, temos:
Passo 5
O polinômio de Taylor de grau
é a soma parcial dessa série até o maior termo de grau
. Como aparecem apenas potências ímpares
, o somatório vai de
a
. Portanto, o polinômio de Taylor de grau
em
é: