Calcule o polinômio de Taylor de f de grau n no ponto x0 indicado:

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n de f(x)=lnl(tfrac1+x1-xr) em x0=0. O conteúdo envolvido é série de Taylor (Maclaurin) e vamos precisar da definição de polinômio de Taylor e de uma expansão em série de potências de f'(x).

Passo 2

Começamos lembrando da definição do polinômio de Taylor de grau n em 0:
Tn(x)=sumj=0^nf^(j)(0)j!,x^j
Para isso, calculamos f(0) e f'(x). Observamos que
f(0)=lnl(tfrac1+01-0r)=0,
e derivando:
f'(x)=ddxlnl(1+xr)-ddxlnl(1-xr)=11+x+11-x=21-x^2

Passo 3

Para expandir f'(x)=tfrac21-x^2, usamos a série geométrica para tfrac11-u=sumk=0^infty u^k com u=x^2. Assim:
21-x^2=2sumk=0^inftyx^2k

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 até x para recuperar f(x). Como f(0)=0, temos:
f(x)=integral0^x f'(t),dt=2sumk=0^inftyintegral0^x t^2k,dt=2sumk=0^inftyx^2k+12k+1

Passo 5

O polinômio de Taylor de grau n é a soma parcial dessa série até o maior termo de grau <= n. Como aparecem apenas potências ímpares x^2k+1, o somatório vai de k=0 a lfloor (n-1)/2rfloor. Portanto, o polinômio de Taylor de grau n em 0 é:
Tn(x)=sumk=0^lfloor (n-1)/2rfloor22k+1,x^2k+1

Resposta

Tn(x)=sumk=0^lfloor (n-1)/2rfloor22k+1,x^2k+1

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