Calcule o polinômio de Taylor de f de grau n no ponto x0 indicado:
f(x)=x^3+2 x^2-5 x+3, x0=1

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n de f(x)=x^3+2x^2-5x+3 no ponto x0=1. Vamos usar o conceito de série de Taylor centrada em x0 e precisar dos valores de f e suas derivadas em x0.

Passo 2

Calculemos as derivadas de f e seus valores em x0=1:
f(x)=x^3+2x^2-5x+3
f'(x)=3x^2+4x-5
f''(x)=6x+4
f'''(x)=6
Agora, em x=1:
f(1)=1^3+2cdot1^2-5cdot1+3=1+2-5+3=1
f'(1)=3+4-5=2
f''(1)=6+4=10
f'''(1)=6

Passo 3

A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau n centrado em x0=1 é:
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(1)k!,(x-1)^k
Como f^(k)(1)=0 para todo k>=4 (pois f é de grau 3), basta somar até k=min(n,3).

Passo 4

Substituindo os valores encontrados:
Tn(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+f''(1)2!(x-1)^2+f'''(1)3!(x-1)^3
Tn(x)=1+2(x-1)+102(x-1)^2+66(x-1)^3
Tn(x)=1+2(x-1)+5(x-1)^2+(x-1)^3
Para n<3, basta truncar o somatório em k=n, e para n>=3 o polinômio acima já é o resultado completo.

Passo 5

Resposta

O polinômio de Taylor de grau n de f em x0=1 é
Para n<3, truncar até k=n em
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(1)k!(x-1)^k
Para n>=3,
Tn(x)=1+2(x-1)+5(x-1)^2+(x-1)^3

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