Calcule o polinômio de Taylor de
de grau
no ponto
indicado:
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau
de
em
. Isso equivale a obter a série de Maclaurin até a ordem
, usando expansão em série de potências e integração termo a termo.
Passo 2
Começamos observando que
que, para
$$\frac{1}{1+x2}=\sum_{k=0}{\infty}(-1)^k x^{2k}.
$$
Passo 3
Aplicamos o teorema de integração de séries: como
, integramos cada termo de
de 0 a
:
Passo 4
Para obter o polinômio de Taylor de grau
, basta truncar esta série mantendo apenas os termos de grau até
. Note que só aparecem potências ímpares
. Se
for ímpar, o maior
é
; se
for par, também excedemos apenas até
, ou seja,
. Concluímos então que o polinômio de Taylor de grau
é dado por: