Calcule o polinômio de Taylor de f de grau n no ponto x0 indicado:
f(x)=arctg x, x0=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n de f(x)=arctan x em x0=0. Isso equivale a obter a série de Maclaurin até a ordem n, usando expansão em série de potências e integração termo a termo.

Passo 2

Começamos observando que
f'(x)=11+x^2
que, para |x|<1, admite a expansão em série geométrica
$$\frac{1}{1+x2}=\sum_{k=0}{\infty}(-1)^k x^{2k}.
$$

Passo 3

Aplicamos o teorema de integração de séries: como arctan x=integral0^x f'(t),dt, integramos cada termo de sumk=0^infty(-1)^k t^2k de 0 a x:
arctan x=integral0^xsumk=0^infty(-1)^k t^2k,dt=sumk=0^infty(-1)^kintegral0^x t^2k,dt=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+12k+1

Passo 4

Para obter o polinômio de Taylor de grau n, basta truncar esta série mantendo apenas os termos de grau até n. Note que só aparecem potências ímpares 2k+1. Se n for ímpar, o maior k é (n-1)/2; se n for par, também excedemos apenas até 2k+1<= n, ou seja, k<=lfloor(n-1)/2rfloor. Concluímos então que o polinômio de Taylor de grau n é dado por:

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