As questões 3, 4, 5 e 6 referem-se a função f definida por
f(x)=x^2+4x^2-9
cujas derivadas são
f^prime(x)=-26 x(x^2-9)^2 e f^prime prime(x)=78(x^2+3)(x^2-9)^3
Sobre as concavidades do gráfico de f é correto afirmar:
(a) é côncavo para cima em (-\infty,-3) \cup[0,3) e côncavo para baixo em (-3,0] \cup(3,+\infty).
(b) é côncavo para baixo em (-\infty,-3) \cup[0,3) e côncavo para cima em (-3,0] \cup(3,+\infty).
© é côncavo para cima em (-\infty,-3) \cup(3,+\infty) e côncavo para baixo em (-3,3).
(d) é côncavo para baixo em (-\infty,-3) \cup(3,+\infty) e côncavo para cima em (-3,3).
(e) é côncavo para cima em (-\infty,-3) e côncavo para baixo em (-3,3) \cup(3,+\infty).

Passo 1

Temos a função f(x)=x^2+4x^2-9 e nos deram suas derivadas principais: f''(x)=78,(x^2+3)(x^2-9)^3 O conteúdo aqui é concavidade de uma função, que a gente estuda pelo sinal da segunda derivada.

Passo 2

Antes de tudo, observe o domínio de f: está definido para todos os x tais que x^2-9neq0, ou seja, xneq -3 e xneq 3. Isso divide a reta em três intervalos: (-infty,-3), (-3,3) e (3,infty).

Passo 3

Como 78(x^2+3)>0 para todo x, o sinal de f''(x) vem de (x^2-9)^3. Se x^2-9>0, então (x^2-9)^3>0 e f''(x)>0. Se x^2-9<0, então (x^2-9)^3<0 e f''(x)<0.

Passo 4

A condição x^2-9>0 equivale a |x|>3, ou seja, nos intervalos (-infty,-3) e (3,infty). A condição x^2-9<0 equivale a -3, ou seja, no intervalo (-3,3).

Passo 5

Logo, f''(x)>0 em (-infty,-3) e em (3,infty), indicando que o gráfico é côncavo para cima nesses trechos. E f''(x)<0 em (-3,3), indicando concavidade para baixo nesse trecho.

Resposta

© é côncavo para cima em (-∞, -3) ∪ (3, +∞) e côncavo para baixo em (-3, 3).

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