Calcule o polinômio de Taylor de f de grau n no ponto x0 indicado:
f(x)=e^x, x0=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o polinômio de Taylor de grau n da função f(x)=e^x centrado em x0=0. Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor/Maclaurin, e vamos precisar da definição geral do polinômio de Taylor e do fato de que todas as derivadas de e^x são iguais a e^x.

Passo 2

A definição geral do polinômio de Taylor de grau n de f em torno de x0 é
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(x0)k!(x-x0)^k
Aqui, como x0=0, usamos a forma de Maclaurin.

Passo 3

Para f(x)=e^x temos f^(k)(x)=e^x para todo k. Em particular, f^(k)(0)=e^0=1. Substituindo na definição:

Passo 4

O polinômio de Taylor de grau n fica portanto
Tn(x)=sumk=0^n1k!x^k= racx^00!+x^11!+x^22!+cdots+x^nn!

Resposta

Tn(x)=sumk=0^nx^kk!

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