Considere a função y=f(x) dada implicitamente por
x^3-x y^2+x=xy
O valor de y^prime no ponto (1,1) é:
(a) -2
(b) -1
© 0
(d) 1
(e) 2

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^3-x y^2+x=xy
queremos encontrar y′(1)=dy/dx no ponto (1,1). O conteúdo aqui é diferenciação implícita, usando regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x, lembrando que y=y(x). Para o lado esquerdo: derivada de x³ é 3x², derivada de –x y² usa produto e cadeia, derivada de x dá 1. No lado direito temos produto x·y^{-1}:
ddx(x^3-x y^2+x)=3x^2-(y^2+2x y y')+1
ddxgl(xygr)=ddx(x,y^-1)=y^-1-x y^-2y'
Então a igualdade das derivadas é
3x^2 - (y^2+2x y y') +1 = y^-1 - x y^-2y'

Passo 3

Substituímos x=1 e y=1 na equação das derivadas e isolamos y’:
3cdot1^2 - (1^2+2cdot1cdot1,y') +1 = 1^-1 - 1cdot1^-2y'
3 - (1+2y') +1 = 1 - y' implies 3 -1 -2y' +1 =1 - y' implies 3 -2y' =1 -y'
Agora agrupamos y’:
-2y' + y' = 1 -3 implies -y' = -2 implies y'=2

Resposta

2

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