Calcule o polinômio de Taylor de
de grau
no ponto
indicado:
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau
(Maclaurin) para
em
. O conteúdo aqui é série de Taylor e vamos precisar usar a definição que envolve as derivadas de
em
.
Passo 2
Para construir o polinômio de Taylor de grau
, lembramos que ele é dado por
Então precisamos descobrir as derivadas de
avaliadas em
.
Passo 3
Calculando algumas derivadas:
Avaliar em
:
Perceba que todas as derivadas pares em
são zero e as ímpares dão
.
Passo 4
Isso nos dá o padrão para os coeficientes do polinômio: só aparecem as potências ímpares. O termo geral para
é
Não há termos de grau par porque
.
Passo 5
Agora reunimos tudo: o polinômio de Taylor de grau
é a soma dos termos ímpares até o maior
. Assim
Passo 6
Esse é o polinômio de Taylor (Maclaurin) de grau
de
em
.