Calcule o polinômio de Taylor de f de grau n no ponto x0 indicado:
f(x)=sinh x, x0=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n (Maclaurin) para f(x)=sinh x em x0=0. O conteúdo aqui é série de Taylor e vamos precisar usar a definição que envolve as derivadas de f em 0.

Passo 2

Para construir o polinômio de Taylor de grau n, lembramos que ele é dado por
Pn(x)=sumk=0^nf^(k)(0)k!,x^k
Então precisamos descobrir as derivadas de sinh x avaliadas em 0.

Passo 3

Calculando algumas derivadas:
f(x)=sinh x, f'(x)=cosh x, f''(x)=sinh x, f^(3)(x)=cosh x,;dots
Avaliar em 0:
f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0, f^(3)(0)=1, f^(4)(0)=0,;dots
Perceba que todas as derivadas pares em 0 são zero e as ímpares dão 1.

Passo 4

Isso nos dá o padrão para os coeficientes do polinômio: só aparecem as potências ímpares. O termo geral para k=2m+1 é
f^(2m+1)(0)(2m+1)!x^2m+1 = 1(2m+1)!x^2m+1
Não há termos de grau par porque f^(2m)(0)=0.

Passo 5

Agora reunimos tudo: o polinômio de Taylor de grau n é a soma dos termos ímpares até o maior 2m+1<= n. Assim
Pn(x)=summ=0^lfloor(n-1)/2rfloorx^2m+1(2m+1)!

Passo 6

Esse é o polinômio de Taylor (Maclaurin) de grau n de sinh x em 0.

Resposta

Pn(x)=summ=0^lfloor (n-1)/2rfloorx^2m+1(2m+1)!

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