As questões 3, 4, 5 e 6 referem-se a função f definida por
f(x)=x^2+4x^2-9
cujas derivadas são
f^prime(x)=-26 x(x^2-9)^2 e f^prime prime(x)=78(x^2+3)(x^2-9)^3
Sobre os extremos locais de f, é correto afirmar:
(a) f tem mínimo local apenas em x=0 e não tem máximos locais.
(b) f tem máximo local apenas em x=0 e não tem mínimos locais.
© f tem máximos locais em x=-3 e x=3 e tem mínimo local em x=0.
(d) f tem mínimos locais em x=-3 e x=3 e tem máximo local em x=0.
(e) f não tem extremos locais.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos locais da função
f(x)=x^2+4x^2-9
Temos as derivadas fornecidas:
f'(x)=-26x(x^2-9)^2, f''(x)=78(x^2+3)(x^2-9)^3
Vamos achar os pontos críticos com f’ e depois usar f’’ para classificar.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0 e verificamos onde f’ não existe. Como
f'(x)=-26x(x^2-9)^2,
a equação f'(x)=0 leva a x=0. Os pontos x=pm3 tornam o denominador zero, mas aí a função f também é indefinida, então não são extremos locais.

Passo 3

Agora, para classificar o ponto x=0, avaliamos f’’ em 0. Temos
f''(x)=78(x^2+3)(x^2-9)^3
Logo,
f''(0)=78cdot3(-9)^3=234-729<0,
indicando que a função é côncava para baixo em x=0, ou seja, há um máximo local.

Passo 4

Para confirmar que não há outros extremos, analisamos o sinal de f’. Como o denominador de f’ é sempre positivo (é um quadrado) e o numerador é -26x, deduzimos que f’ é positivo em x<0 e negativo em x>0. Assim, f cresce antes de 0 e decresce depois de 0, reforçando que x=0 é um único máximo local e não existem mínimos locais nem extremos em x=pm3 (fora do domínio).

Resposta

f tem máximo local apenas em x=0 e não tem mínimos locais, correspondendo à alternativa (b).

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