As questões 3, 4, 5 e 6 referem-se a função f definida por
cujas derivadas são
Sobre os extremos locais de f, é correto afirmar:
(a) f tem mínimo local apenas em x=0 e não tem máximos locais.
(b) f tem máximo local apenas em x=0 e não tem mínimos locais.
© f tem máximos locais em x=-3 e x=3 e tem mínimo local em x=0.
(d) f tem mínimos locais em x=-3 e x=3 e tem máximo local em x=0.
(e) f não tem extremos locais.
(a) f tem mínimo local apenas em x=0 e não tem máximos locais.
(b) f tem máximo local apenas em x=0 e não tem mínimos locais.
© f tem máximos locais em x=-3 e x=3 e tem mínimo local em x=0.
(d) f tem mínimos locais em x=-3 e x=3 e tem máximo local em x=0.
(e) f não tem extremos locais.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os extremos locais da função
Temos as derivadas fornecidas:
Vamos achar os pontos críticos com f’ e depois usar f’’ para classificar.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
e verificamos onde f’ não existe. Como
a equação
leva a
. Os pontos
tornam o denominador zero, mas aí a função f também é indefinida, então não são extremos locais.
Passo 3
Agora, para classificar o ponto
, avaliamos f’’ em 0. Temos
Logo,
indicando que a função é côncava para baixo em
, ou seja, há um máximo local.
Passo 4
Para confirmar que não há outros extremos, analisamos o sinal de f’. Como o denominador de f’ é sempre positivo (é um quadrado) e o numerador é
, deduzimos que f’ é positivo em
e negativo em
. Assim, f cresce antes de 0 e decresce depois de 0, reforçando que
é um único máximo local e não existem mínimos locais nem extremos em
(fora do domínio).
Resposta
f tem máximo local apenas em x=0 e não tem mínimos locais, correspondendo à alternativa (b).