Calcule o polinômio de Taylor de f de grau n no ponto x0 indicado:
f(x)=x ln (1+x), x0=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor (Maclaurin) de grau n de f(x)=x·ln(1+x) em x₀=0. Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor e vamos precisar da série de Maclaurin de ln(1+x) e depois multiplicar por x.

Passo 2

A série de Maclaurin de ln(1+x) para |x|<1 é dada por:
ln(1+x)=sumk=1^infty(-1)^k-1x^kk
Explicando: essa expansão vem da integração da série de 1/(1+x) ou pela definição de série alternada.

Passo 3

Multiplicando a série de ln(1+x) por x, obtemos a expansão de f(x):
f(x)=xln(1+x)=xsumk=1^infty(-1)^k-1x^kk=sumk=1^infty(-1)^k-1x^k+1k

Passo 4

Para formar o polinômio de Taylor de grau n, basta truncar essa série mantendo só os termos com potência até x^n. Como cada termo é x^{k+1}, requeremos k+1\le n ⇒ k\le n-1. Assim o polinômio é:
Tn(x)=sumk=1^n-1(-1)^k-1x^k+1k

Resposta

Tn(x)=sumk=1^n-1(-1)^k-1x^k+1k

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