Calcule o polinômio de Taylor de
de grau
no ponto
indicado:
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor (Maclaurin) de grau n de f(x)=x·ln(1+x) em x₀=0. Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor e vamos precisar da série de Maclaurin de ln(1+x) e depois multiplicar por x.
Passo 2
A série de Maclaurin de ln(1+x) para |x|<1 é dada por:
Explicando: essa expansão vem da integração da série de 1/(1+x) ou pela definição de série alternada.
Passo 3
Multiplicando a série de ln(1+x) por x, obtemos a expansão de f(x):
Passo 4
Para formar o polinômio de Taylor de grau n, basta truncar essa série mantendo só os termos com potência até x^n. Como cada termo é x^{k+1}, requeremos k+1\le n ⇒ k\le n-1. Assim o polinômio é: