Considere a função f: R R definida por
f(x)=rr x^2-3, & se x<2 1, & se x=2 x-1, & se x>2
a) Calcule POR DEFINIÇÃO as derivadas laterais e .
b) f-^'(2) é derivável em f+^'(2) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

A função é definida por partes e o problema pede para calcular as derivadas laterais em x=2 usando a definição de derivada f'(a)=limhto0(f(a+h)-f(a))/h, adaptando para os lados esquerdo e direito. Vamos usar:
f'-(2)=limhto0^-f(2+h)-f(2)h, f'+(2)=limhto0^+f(2+h)-f(2)h

Passo 2

Para a derivada lateral esquerda h<0, usamos o trecho f(x)=x^2-3. Assim:
f(2+h)-f(2)h =(2+h)^2-3-1h =4+4h+h^2-4h =4h+h^2h =4+h
Fazendo hto0^- obtemos f'-(2)=4

Passo 3

Para a derivada lateral direita h>0, usamos o trecho f(x)=x-1. Então:
f(2+h)-f(2)h =(2+h)-1-1h =hh =1
Tendo hto0^+, concluímos f'+(2)=1

Passo 4

Para que f seja derivável em x=2, é necessário que f'-(2)=f'+(2). Aqui temos 4$\neq$1, logo as derivadas laterais são diferentes e neq não é derivável em x=2.

Resposta

f'-(2)=4, f'+(2)=1 A função não é derivável em x=2 pois as derivadas laterais não coincidem.

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