a) Calcule POR DEFINIÇÃO as derivadas laterais e .
b) f-^'(2) é derivável em f+^'(2) ? Justifique sua resposta.
Passo 1
A função é definida por partes e o problema pede para calcular as derivadas laterais em x=2 usando a definição de derivada f'(a)=limhto0(f(a+h)-f(a))/h, adaptando para os lados esquerdo e direito. Vamos usar:
Para a derivada lateral direita h>0, usamos o trecho f(x)=x-1. Então:
f(2+h)-f(2)h =(2+h)-1-1h =hh =1
Tendo hto0^+, concluímos f'+(2)=1
Passo 4
Para que f seja derivável em x=2, é necessário que f'-(2)=f'+(2). Aqui temos 4$\neq$1, logo as derivadas laterais são diferentes e neq não é derivável em x=2.
Resposta
f'-(2)=4, f'+(2)=1 A função não é derivável em x=2 pois as derivadas laterais não coincidem.