Considere os limites a seguir:
I. lim x 0 x cdot ctg(x)
II. lim x 0 e^x-1sen(3 x)
III. lim x 0 x cdot cos (1 / x)
IV. lim x 1 log 5(2-x)
Quantos desses limites valem zero?
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0

Passo 1

O exercício dá quatro limites e pede para identificar quantos deles valem zero. O assunto é limites de funções, usando aproximações de séries (ou propriedades de funções contínuas) para avaliar cada caso.

Passo 2

Analisando I: limxto0 xcdotcot(x). Como cot(x)=cos(x)sin(x), e perto de zero sin(x)sim x e cos(x)sim1, temos cot(x)sim1x. Logo
xcdotcot(x)sim xcdot1x=1,
portanto o limite não é zero, mas igual a 1.

Passo 3

Analisando II: limxto0e^x-1sin(3x). Usando expansões: e^x-1sim x e sin(3x)sim3x. Então
e^x-1sin(3x)simx3x=13,
logo esse limite também não é zero, mas 1/3.

Passo 4

Analisando III: limxto0 xcdotcos(1/x). A função cos(1/x) é limitada entre -1 e 1, então
|xcos(1/x)|<= |x|to0,
o que implica que o limite vale zero.

Passo 5

Analisando IV: limxto1log5(2-x). A função logarítmica é contínua, basta substituir x=1:
log5(2-1)=log5(1)=0

Passo 6

Dos quatro limites, apenas o III e o IV valem zero, ou seja, dois limites.

Resposta

2

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