Sabendo que os limites a seguir existem, use coordenadas polares para determiná-los:

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de quando arctgl((|x|+|y|)/(x^2+y^2)r). O conteúdo é mudança para coordenadas polares e comportamento de funções trigonométricas inversas no infinito.

Passo 2

Vamos usar coordenadas polares definindo x=rcostheta, y=rsintheta, em que r=raizx^2+y^2 e rto0^+ equivale a (x,y)to(0,0).
No numerador temos |x|+|y|=rl(|costheta|+|sintheta|r). No denominador temos x^2+y^2=r^2.
Assim a expressão dentro do fica
arctg

Passo 3

Para qualquer ângulo theta fixo, |costheta|+|sintheta|>0. Logo quando rto0^+ temos
|costheta|+|sintheta|rto+infty

Passo 4

Como quando arctg(t)totfracpi2, concluímos que o limite pedido é

Resposta

pi2

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