3(1,0) Calcule o polinômio de Taylor de ordem 4 das funções abaixo em torno de c=0 :
f(x)=x^{6}-3 x^{5}+2 x^{4}+x^{3}-3 x+1

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 4 de
f(x)=x^{6}-3x^{5}+2x^{4}+x^{3}-3x+1
em torno de c=0. Vamos usar a fórmula
P_{4}(x)=\sum_{k=0}^{4}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k},
portanto precisamos de f(0) e das derivadas de f até a quarta ordem avaliadas em 0.

Passo 2

Calcular f(0) e f'(x) e avaliar em 0.
f(0)=0^{6}-3\cdot0^{5}+2\cdot0^{4}+0^{3}-3\cdot0+1=1.
Derivando
f'(x)=6x^{5}-15x^{4}+8x^{3}+3x^{2}-3,
logo
f'(0)=-3.

Passo 3

Calcular f''(x) e f''(0).
Derivando outra vez,
f''(x)=30x^{4}-60x^{3}+24x^{2}+6x,
logo
f''(0)=0.

Passo 4

Calcular f'''(x) e f'''(0).
Mais uma derivada,
f'''(x)=120x^{3}-180x^{2}+48x+6,
portanto
f'''(0)=6.

Passo 5

Calcular f''''(x) e f''''(0).
Derivando pela quarta vez,
f''''(x)=360x^{2}-360x+48,
assim
f''''(0)=48.

Passo 6

Obter os coeficientes de P_{4}(x):
a_{0}=\frac{f(0)}{0!}=1,\quad a_{1}=\frac{f'(0)}{1!}=-3,\quad a_{2}=\frac{f''(0)}{2!}=0,\quad a_{3}=\frac{f'''(0)}{3!}=\frac{6}{6}=1,\quad a_{4}=\frac{f''''(0)}{4!}=\frac{48}{24}=2.
Logo
P_{4}(x)=1-3x+0\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}+2\cdot x^{4}.

Resposta

P_{4}(x)=1-3x+x^{3}+2x^{4}.

Exercícios relacionados