3(1,0) Calcule o polinômio de Taylor de ordem 4 das funções abaixo em torno de c=0 :
f(x)=\cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede o polinómio de Taylor de ordem 4 de f(x)=\cos(2x) em torno de c=0. O conteúdo envolve séries de Taylor, onde usamos a fórmula
T_4(x)=\sum_{k=0}^{4}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k
e, portanto, precisamos das derivadas de f até a quarta ordem avaliadas em 0.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas sucessivas de f(x) e avaliá-las em x=0:
f(x)=\cos(2x) \Rightarrow
f(0)=\cos(0)=1.
f'(x)=-2\sin(2x) \Rightarrow
f'(0)=-2\sin(0)=0.
f''(x)=-4\cos(2x) \Rightarrow
f''(0)=-4\cos(0)=-4.
f^{(3)}(x)=8\sin(2x) \Rightarrow
f^{(3)}(0)=8\sin(0)=0.
f^{(4)}(x)=16\cos(2x) \Rightarrow
f^{(4)}(0)=16\cos(0)=16.

Passo 3

Substituímos esses valores na fórmula de Taylor:
T_4(x) =\frac{f(0)}{0!}+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2 +\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4.
Logo,
T_4(x) =1 + 0\cdot x + \frac{-4}{2}x^2 + 0\cdot x^3 + \frac{16}{24}x^4 =1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4.

Resposta

T_4(x)=1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4.

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