2(1,5) Resolva os limites abaixo usando a regra de L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{3}-8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{3}-8}
usando a regra de L’Hopital, que diz que se \lim f(x) e \lim g(x) são ambos +\infty ou ambos 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que esse novo limite exista ou seja +\infty ou -\infty.

Passo 2

Substituindo x\to+\infty vemos que
x^{2}-5x+6\to+\infty e x^{3}-8\to+\infty,
logo temos uma forma +\infty/+\infty. Aplicando L’Hopital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{3}-8} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2x-5}{3x^{2}}.

Passo 3

No novo limite ainda ocorre +\infty/+\infty (pois 2x-5\to+\infty e 3x^{2}\to+\infty). Aplicamos L’Hopital de novo:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-5}{3x^{2}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{6x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{3x}.

Passo 4

Para x\to+\infty, \tfrac{1}{3x}\to0. Portanto o limite final é zero.

Resposta

0

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