2(1,5) Resolva os limites abaixo usando a regra de L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0^{+}} x\ln(x)
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo envolvido é indeterminação do tipo 0\cdot(-\infty).

Passo 2

Para aplicar L’Hospital precisamos de uma forma “ \frac{\;\;}{\;\;}”. Reescrevemos
x\ln(x)=\frac{\ln(x)}{1/x}.
Quando x\to0^{+}, o numerador \ln(x)\to -\infty e o denominador 1/x\to +\infty, gerando a indeterminação \tfrac{-\infty}{+\infty}.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hospital derivando numerador e denominador:
o numerador \ln(x) dá derivada \tfrac{1}{x}.
o denominador 1/x dá derivada -\tfrac{1}{x^{2}}.
Logo
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(x)}{1/x} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\tfrac{1}{x}}{-\tfrac{1}{x^{2}}} =\lim_{x\to0^{+}}\bigl(-x\bigr).

Passo 4

Como \lim_{x\to0^{+}}(-x)=0, concluímos que o limite original vale zero.

Resposta

0

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