Calcule o polinômio de Taylor de ordem 4 das funções abaixo em torno de c=0 :
f(x)=x^{4}+x^{2}-2 x+3

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 4 da função
f(x)=x^{4}+x^{2}-2x+3
em torno de c=0. Para isso, vamos usar a fórmula
T_{4}(x)=\sum_{k=0}^{4}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k},
o que exige calcular as derivadas de f até a quarta ordem e avaliá-las em x=0.

Passo 2

Calcular as derivadas de f:
f'(x)=4x^{3}+2x-2
f''(x)=12x^{2}+2
f'''(x)=24x
f''''(x)=24

Passo 3

Avaliar cada derivada em x=0:
f(0)=3,\quad f'(0)=-2,\quad f''(0)=2,\quad f'''(0)=0,\quad f''''(0)=24.

Passo 4

Montar o polinômio de Taylor de ordem 4:
T_{4}(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\frac{f''''(0)}{4!}x^{4}
T_{4}(x)=3+(-2)x+\frac{2}{2}x^{2}+\frac{0}{6}x^{3}+\frac{24}{24}x^{4}
T_{4}(x)=3-2x+x^{2}+x^{4}.

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 4 de f em torno de c=0 é
T_{4}(x)=3-2x+x^{2}+x^{4}.

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