Calcule o polinômio de Taylor de ordem 4 das funções abaixo em torno de c=0 :
f(x)=x^{2}+\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 4 de f(x)=x^{2}+\sin(x) em torno de c=0. Vamos usar a definição de polinômio de Taylor centrado em zero (polinômio de Maclaurin) até grau 4.

Passo 2

A definição do polinômio de Taylor de ordem n em torno de c=0 é
P_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k}.
Aqui precisamos de n=4.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f até a quarta ordem e avaliamos em 0:
f(x)=x^{2}+\sin(x),
f'(x)=2x+\cos(x),
f''(x)=2-\sin(x),
f'''(x)=-\cos(x),
f^{(4)}(x)=\sin(x).
Agora, em x=0:
f(0)=0+0=0,\quad f'(0)=0+1=1,\quad f''(0)=2-0=2,
f'''(0)=-1,\quad f^{(4)}(0)=0.

Passo 4

Substituindo em
P_{4}(x)=\frac{f(0)}{0!}x^{0}+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^{4}
obtemos
P_{4}(x) =0 + 1\cdot x + \frac{2}{2}x^{2}+\frac{-1}{6}x^{3}+0\cdot x^{4} =x + x^{2} - \frac{x^{3}}{6}.

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 4 de f(x)=x^{2}+\sin(x) em torno de 0 é
P_{4}(x)=x + x^{2} - \frac{x^{3}}{6}.

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