Resolva os limites abaixo usando a regra de L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}}{e^{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty} \frac{x^{2}}{e^{x}-1}.
Perceba que, à medida que x\to+\infty, temos x^{2}\to+\infty e e^{x}-1\to+\infty, ou seja, a forma é \infty/\infty. Para resolver, vamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar numerador e denominador até obter uma forma que dê para avaliar diretamente.

Passo 2

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
\lim_{x\to+\infty} \frac{x^{2}}{e^{x}-1} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\bigl(x^{2}\bigr)'}{\bigl(e^{x}-1\bigr)'} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2x}{e^{x}}.

Passo 3

O novo limite
\lim_{x\to+\infty} \frac{2x}{e^{x}}
ainda é do tipo \infty/\infty. Aplicando L’Hôpital pela segunda vez:
\lim_{x\to+\infty} \frac{2x}{e^{x}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{(2x)'}{(e^{x})'} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2}{e^{x}}.

Passo 4

Agora, ao fazermos
\lim_{x\to+\infty} \frac{2}{e^{x}},
sabemos que e^{x}\to+\infty, logo o quociente tende a zero.

Resposta

0

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