Questão 1 (2 pontos) 0,5 Escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente.
\left\{1+\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\right\}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = 1 + \frac{(-1)^n}{2^n}
e pede os quatro primeiros termos e se ela é convergente ou divergente. O conteúdo é estudo de sequências e cálculo de limite de sequência.

Passo 2

Para calcular a_1 e a_2 substituímos n na fórmula:
a_1 = 1 + \frac{(-1)^1}{2^1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2},
a_2 = 1 + \frac{(-1)^2}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}.

Passo 3

De modo análogo, para n=3 e n=4:
a_3 = 1 + \frac{(-1)^3}{2^3} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8},
a_4 = 1 + \frac{(-1)^4}{2^4} = 1 + \frac{1}{16} = \frac{17}{16}.

Passo 4

Para verificar convergência, note que o termo \frac{(-1)^n}{2^n} tem numerador sempre \pm1 e denominador 2^n que cresce exponencialmente, então
\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{2^n} = 0.
Logo
\lim_{n\to\infty}a_n = 1 + 0 = 1,
e a sequência é convergente.

Resposta

Os quatro primeiros termos são \tfrac{1}{2}, \tfrac{5}{4}, \tfrac{7}{8}, \tfrac{17}{16} e a sequência é convergente, com limite 1.

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