Calcule o polinômio de Taylor de ordem 4 das funções abaixo em torno de c=0 :
f(x)=x^{5}+x^{3}-2 x+2

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de c=0 da função
f(x)=x^{5}+x^{3}-2x+2.
Como c=0, trata‐se do polinômio de Maclaurin de grau até 4, dado pela soma
P_{4}(x)=\sum_{k=0}^{4}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f até a quarta ordem e avaliamos em x=0:
f'(x)=5x^{4}+3x^{2}-2,\quad f''(x)=20x^{3}+6x,\quad f^{(3)}(x)=60x^{2}+6,\quad f^{(4)}(x)=120x.
Em x=0,
f(0)=2,\quad f'(0)=-2,\quad f''(0)=0,\quad f^{(3)}(0)=6,\quad f^{(4)}(0)=0.

Passo 3

Substituindo esses valores na fórmula de Maclaurin:
P_{4}(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^{4},
P_{4}(x)=2-2x+0\cdot\frac{x^{2}}{2}+6\cdot\frac{x^{3}}{6}+0\cdot\frac{x^{4}}{24} =2-2x+x^{3}.

Resposta

P_{4}(x)=2-2x+x^{3}.

Exercícios relacionados