4(1,5) Calcule o valor das integrais indefinidas:
\int x \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\,\ln(x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Precisamos escolher as funções u e dv. Uma escolha natural é
u = \ln(x), \quad dv = x\,dx.
Dessa forma temos
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\text{e}\quad v = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int x\,\ln(x)\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = \frac{x^{2}}{2}\,\ln(x) - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Vamos simplificar a integral que ficou:
\int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\,\int x\,dx = \frac{1}{2}\,\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.

Passo 5

Substituindo esse resultado de volta, obtemos
\int x\,\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln(x) - \frac{x^{2}}{4} + C = \frac{x^{2}}{2}\Bigl(\ln(x) - \tfrac{1}{2}\Bigr) + C.

Resposta

\int x\,\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\ln(x) - \frac{x^{2}}{4} + C.

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