2(1,5) Resolva os limites abaixo usando a regra de L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow 0} x\left(e^{x}-1\right)\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}x\bigl(e^x-1\bigr)
usando a regra de L’Hospital. Aqui, quando x\to0 temos
x\to0 \quad\text{e}\quad e^x-1\to0,
logo o produto é da forma 0\cdot0. A regra de L’Hospital exige uma forma de quociente 0/0 ou \infty/\infty, então vamos reescrever o produto como um quociente.

Passo 2

Observe que
x\bigl(e^x-1\bigr) =\frac{e^x-1}{1/x}.
Quando x\to0, o numerador tende a 0 e o denominador 1/x tende a +\infty. Em geral 0/(+\infty)=0 e não é uma indeterminação, portanto não precisamos de L’Hospital: basta concluir que o quociente tende a 0.

Resposta

\lim_{x\to0}x\bigl(e^x-1\bigr)=0.

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