2(1,5) Resolva os limites abaixo usando a regra de L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}-1}{x^{2}+4 x+3}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}-1}{x^{2}+4x+3}.
Como, quando x\to -\infty, tanto x^{2}-1\to+\infty quanto x^{2}+4x+3\to+\infty, temos a forma indeterminada \infty/\infty. Logo, podemos usar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^{2}-1)=2x, \quad \frac{d}{dx}(x^{2}+4x+3)=2x+4.
Assim o limite original passa a ser
\lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{2x+4}.

Passo 3

Analisando
\lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{2x+4},
vemos que 2x\to -\infty e 2x+4\to -\infty, novamente \infty/\infty. Aplicamos L’Hospital de novo:
\frac{d}{dx}(2x)=2, \quad \frac{d}{dx}(2x+4)=2.
Logo
\lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{2x+4} =\lim_{x\to -\infty}\frac{2}{2} =1.

Resposta

1

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