Calcule os pontos críticos de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular os pontos críticos. Informações fornecidas:
Pergunta pedida: "Calcule os pontos críticos de
". Ou seja, determinar os valores de
onde
tem pontos críticos (pontos onde a derivada é zero ou não está definida), e fornecer as coordenadas desses pontos se for o caso.
Passo 2
O que é um ponto crítico? Vou explicar devagarinho: um número
é chamado de ponto crítico da função
se pelo menos uma das duas coisas acontece:
Aqui
significa a derivada de
em relação a
. A derivada mede a inclinação da reta tangente ao gráfico de
naquele ponto — pensa nela como a “velocidade” com que
muda quando
muda.
Regra que vamos usar para calcular derivadas (power rule): para um monômio
a derivada é
Aqui
é uma constante,
é um número inteiro não negativo, e
é a variável. Exemplinho rápido:
porque
,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
termo a termo, aplicando a regra anterior:
- Derivada de
é (constante). - Derivada de
é (pois , dá ). - Derivada de
é (pois , dá ).
Portanto,
Simplificando,
Passo 4
Agora aplicamos a definição de ponto crítico: procuramos
tal que
ou onde
não existe. Primeiro resolvemos
:
Colocando em evidência:
Como
, concluímos que
Passo 5
Verificação se existem pontos onde
não está definida:
é um polinômio (reta) e está definido para todo
. Logo não há pontos onde a derivada deixe de existir. Portanto o único candidato a ponto crítico é
.
Passo 6
Para dar a coordenada do ponto crítico no gráfico, calculamos
:
Logo a coordenada é
.
Passo 7
Classificação do ponto (opcional, mas útil para a prova): usamos a segunda derivada. Calculamos
A segunda derivada em
é
. Como
, pelo teste da segunda derivada o ponto é um máximo local (a concavidade da curva é para baixo naquele ponto). Intuição: se a segunda derivada é negativa, o gráfico está “virado para baixo” e o ponto é um topo.
Passo 8
Resumo final do raciocínio: derivada nula em
, derivada definida em todo lugar, cálculo de
e segunda derivada negativa -> ponto crítico em
que é um máximo local.