Calcule os pontos críticos de:
f(x)=2+2 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para calcular os pontos críticos. Informações fornecidas:
f(x)=2+2x-x^{2}.
Pergunta pedida: "Calcule os pontos críticos de f". Ou seja, determinar os valores de x onde f tem pontos críticos (pontos onde a derivada é zero ou não está definida), e fornecer as coordenadas desses pontos se for o caso.

Passo 2

O que é um ponto crítico? Vou explicar devagarinho: um número x_c é chamado de ponto crítico da função f se pelo menos uma das duas coisas acontece:
\text{(i)}\quad f'(x_c)=0 \quad\text{ou}\quad \text{(ii)}\quad f'(x_c)\\ \text{não está definida}.ãá
Aqui f'(x) significa a derivada de f em relação a x. A derivada mede a inclinação da reta tangente ao gráfico de f naquele ponto — pensa nela como a “velocidade” com que f muda quando x muda.
Regra que vamos usar para calcular derivadas (power rule): para um monômio \,a x^{n}\, a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n\cdot x^{n-1}.
Aqui a é uma constante, n é um número inteiro não negativo, e x é a variável. Exemplinho rápido: \frac{d}{dx}(x^{2})=2x porque a=1, n=2.

Passo 3

Vamos calcular a derivada f'(x) termo a termo, aplicando a regra anterior:
  • Derivada de 2 é 0 (constante).
  • Derivada de 2x é 2 (pois a=2, n=1 2\cdot1\cdot x^{0}=2).
  • Derivada de -x^{2} é -2x (pois a=-1, n=2 -1\cdot2\cdot x^{1}=-2x).
Portanto,
f'(x)=0+2-2x.
Simplificando,
f'(x)=2-2x.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de ponto crítico: procuramos x tal que f'(x)=0 ou onde f' não existe. Primeiro resolvemos f'(x)=0:
2-2x=0.
Colocando em evidência:
2(1-x)=0.
Como 2\neq0, concluímos que
1-x=0\quad\Rightarrow\quad x=1.

Passo 5

Verificação se existem pontos onde f' não está definida: f'(x)=2-2x é um polinômio (reta) e está definido para todo x\in\mathbb{R}. Logo não há pontos onde a derivada deixe de existir. Portanto o único candidato a ponto crítico é x=1.

Passo 6

Para dar a coordenada do ponto crítico no gráfico, calculamos f(1):
f(1)=2+2\cdot1-(1)^{2}=2+2-1=3.
Logo a coordenada é (1,3).

Passo 7

Classificação do ponto (opcional, mas útil para a prova): usamos a segunda derivada. Calculamos
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(f'(x)\bigr)=\frac{d}{dx}(2-2x)=-2.
A segunda derivada em x=1 é f''(1)=-2. Como f''(1)<0, pelo teste da segunda derivada o ponto é um máximo local (a concavidade da curva é para baixo naquele ponto). Intuição: se a segunda derivada é negativa, o gráfico está “virado para baixo” e o ponto é um topo.

Passo 8

Resumo final do raciocínio: derivada nula em x=1, derivada definida em todo lugar, cálculo de f(1)=3 e segunda derivada negativa -> ponto crítico em (1,3) que é um máximo local.

Resposta

(1,3) (ponto crítico; máximo local)

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