Determine a solução geral de t^2 y^prime-2 t y=4, com t<0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação diferencial t^2 y' - 2 t y = 4 com t < 0 . O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar identificar os coeficientes da equação e usar o fator integrante. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear: y' + P(t) y = Q(t) . Para isso, dividimos todos os termos por t^2 :
y' - 2t y = 4t^2
Aqui, P(t) = -2t e Q(t) = 4t^2 .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(t) , que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo P(t) = -2t :
mu(t) = e^integral -2t dt = e^-2 ln |t| = |t|^-2
Como t < 0 , podemos simplificar |t| = -t , então:
mu(t) = (-t)^-2 = 1t^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) = 1t^2 :
1t^2 y' - 2t^3 y = 4t^4
A expressão do lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(t) y :
ddt ( yt^2 ) = 4t^4

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt ( yt^2 ) dt = integral 4t^4 dt
Isso simplifica para:
yt^2 = integral 4 t^-4 dt = 4 ( t^-3-3 ) + C = -43 t^3 + C

Passo 6

Agora, resolvemos para y :
y = t^2 ( -43 t^3 + C ) = -43 t + C t^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = -43 t + C t^2, onde C é uma constante real é

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