Calcule os pontos críticos da função f(x, y)=x^{3}+x y+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=x^{3}+x y+y^{2}. Vamos usar o método de cálculo de derivadas parciais e impor \nabla f(x,y)=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^3+xy+y^2)=3x^2+y
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^3+xy+y^2)=x+2y

Passo 3

Para pontos críticos, resolvemos o sistema
3x^2 + y = 0, \quad x + 2y = 0.
Da segunda equação vem
y = -\frac{x}{2}.
Substituindo em 3x^2+y=0:
3x^2 - \frac{x}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6x^2 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(6x-1)=0.
Assim x=0 ou x=\tfrac16.
Se x=0, então y=0.
Se x=\tfrac16, então y=-\tfrac{1}{12}.

Resposta

Os pontos críticos de f são
(0,0) \quad\text{e}\quad \Bigl(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{12}\Bigr).

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