Suponha que (1,3) seja um ponto crítico de uma função f com derivadas de segunda ordem contínuas em toda parte. Em cada item, o que se pode dizer sobre o ponto (1,3) com respeito aos extremos relativos e pontos de sela de f ?
(b) f_{x x}(1,3)=-2, f_{y y}(1,3)=-3, f_{x y}(1,3)=2

Passo 1

O enunciado diz que (1,3) é ponto crítico de f (isto é, \nabla f(1,3)=0) e que as segundas derivadas são contínuas. Para classificar extremos relativos ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada em duas variáveis, isto é, o discriminante do Hessiano.

Passo 2

Definimos o discriminante
D = f_{xx}(1,3)\,f_{yy}(1,3) - \bigl(f_{xy}(1,3)\bigr)^2.

Passo 3

Substituindo os valores dados,
D = (-2)\cdot(-3) - (2)^2 = 6 - 4 = 2.
Como \,D>0 e ao mesmo tempo f_{xx}(1,3)=-2<0, o teste conclui que há um máximo local em (1,3).

Resposta

f tem um máximo relativo em (1,3).

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