Suponha que (1,3) seja um ponto crítico de uma função f com derivadas de segunda ordem contínuas em toda parte. Em cada item, o que se pode dizer sobre o ponto (1,3) com respeito aos extremos relativos e pontos de sela de f ?
(a) f_{x x}(1,3)=1, f_{y y}(1,3)=2, f_{x y}(1,3)=-1

Passo 1

Temos que (1,3) é um ponto crítico de f e conhecemos as segundas derivadas nesse ponto:
f_{x x}(1,3)=1,\quad f_{y y}(1,3)=2,\quad f_{x y}(1,3)=-1.
Queremos classificar (1,3) usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

O teste da segunda derivada define o discriminante do Hessiano em (1,3) por
D \;=\; f_{x x}(1,3)\,f_{y y}(1,3)\;-\;\bigl(f_{x y}(1,3)\bigr)^{2}.
As conclusões são:
  • se D>0 e f_{x x}(1,3)>0, ponto de mínimo relativo;
  • se D>0 e f_{x x}(1,3)<0, ponto de máximo relativo;
  • se D<0, ponto de sela;
  • se D=0, teste inconclusivo.

Passo 3

Calculando
D = 1 \cdot 2 - (-1)^{2} = 2 - 1 = 1.
Logo D=1>0.

Passo 4

Como D>0 e f_{x x}(1,3)=1>0, concluímos que (1,3) é um ponto de mínimo relativo.

Resposta

O ponto (1,3) é um mínimo relativo de f.

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