Suponha que
seja um ponto crítico de uma função
com derivadas de segunda ordem contínuas em toda parte. Em cada item, o que se pode dizer sobre o ponto
com respeito aos extremos relativos e pontos de sela de
?
(a)
(a)
Passo 1
Temos que
é um ponto crítico de
e conhecemos as segundas derivadas nesse ponto:
Queremos classificar
usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
O teste da segunda derivada define o discriminante do Hessiano em
por
As conclusões são:
- se
e , ponto de mínimo relativo; - se
e , ponto de máximo relativo; - se
, ponto de sela; - se
, teste inconclusivo.
Passo 3
Calculando
Logo
.
Passo 4
Como
e
, concluímos que
é um ponto de mínimo relativo.
Resposta
O ponto
é um mínimo relativo de
.