Um economista faz dois investimentos ao mesmo tempo, X e Y , de modo que o capital investido em Y seja 8 vezes o valor inicial investido em X. Sabe-se que os dois investimentos crescem em progressão geométrica, em que o investimento Y dobra a cada 2 anos e o investimento X, a cada ano.
O economista decide retirar as duas aplicações quando os montantes dos dois investimentos forem iguais, o que acontecerá daqui a
(A) 1 ano
(B) 2 anos
(C) 4 anos
(D) 6 anos
(E) 8 anos

Passo 1

O enunciado diz que o economista investe X em X e 8X em Y. O montante de X dobra a cada ano (razão geométrica 2 por ano) e o montante de Y dobra a cada 2 anos (razão geométrica 2 a cada 2 anos, ou seja 2^{1/2} por ano). Precisamos achar o tempo n em anos tal que os dois montantes sejam iguais.

Passo 2

Montante de X após n anos:
M_X = X \cdot 2^n.
Montante de Y após n anos:
M_Y = 8X \cdot \bigl(2^{1/2}\bigr)^n = 8X \cdot 2^{n/2}.

Passo 3

Igualando M_X e M_Y:
X \cdot 2^n = 8X \cdot 2^{n/2} \quad\Longrightarrow\quad 2^n = 8 \cdot 2^{n/2} \quad\Longrightarrow\quad 2^n = 2^3 \cdot 2^{n/2} \quad\Longrightarrow\quad n = \frac n2 + 3.
Resolvendo:
n - \frac n2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad \frac n2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad n = 6.

Resposta

(D) 6 anos

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